陈 省 身: 什么是几何学?


- 陈省身先生在台湾大学的演讲(节选)

今天授奖的仪式很隆重,听了许多人的演讲,我非常感动。有机会在此演讲,自己觉得非常荣幸,也非常高兴。我想从现在起,我们就像平常上课一样,不怎么严肃,随便一点。我带了一些材料,非常遗憾的是没法投影。不投影也可以,我没有什么准备。大家希望我讲一点几何学,题目是《什么是几何学》。我虽然搞了几十年的几何工作,但是很抱歉的一点是,当你们听完演讲后,不会得到很简单的答案,因为这是一门广泛而伟大的学问。在最近几千年来,几何学有非常重要的发展,跟许多其它的科学不但有关系、有作用,而且是基本的因素。
讲到几何学,我们第一个想到的是欧几里德。除了基督教的《圣经》之外,欧几里德的《几何原本》在世界出版物中大概是销售最多的一本书了。这本书在中国有翻译,译者是徐光启与利玛窦。徐光启(1562~1633)是中国了不得的学问家,利玛窦(M.RICCI)是到中国来的意大利传教士。他们只翻译了六章,中文本是在1607年出版的。我们现在通用的许多名词,例如并行线、三角形、圆周等这类名词我想都是徐光启翻译的。当时没有把全书翻译完,差不多只翻译了半本,另外还有半本是李善兰和伟烈亚力翻译的。伟烈亚力(A.Wylie)是英国传教士。很高兴的是,李善兰是浙江海宁人。海宁是嘉兴府的一县,我是嘉兴人,所以我们是同乡(掌声)。对了,查济民先生也是海宁人(掌声)。
推动几何学第二个重要的、历史性发展的人是Descarte(1596~1650),中国人翻译成为笛卡儿。他是法国哲学家,不是专门研究数学的。他用坐标的方法,把几何变成了代数。当时没有分析或者无穷的观念。所以他就变成代数。我想笛卡儿当时不见得觉得他这贡献是很伟大的,所以他的几何谕文是他的哲学引里面最后的一个附录,附属于他的哲学的。
这个思想当然在几何上是革命性的,因为当把几何的现象用坐标表示出来时,就变成了代数现象。所以你要证明说一条直线是不是经过一个点,你只要证明某个数是不是等于零就行了。这样就变成了一个简单一点的代数问题。当然并不是任何的几何问题都要变成代数问题,有时候变为代数问题后原来的问题更加复杂了。但这个关系是基本性的。笛卡儿发现的坐标系,我们大概在中学念解析几何都学到。有一点是这样的(我的图可惜现在没法投影出来)给定一条直线,直线上有一个原点,其它的点由它的距离X来确定,然后经过x沿一定的方向画一条直线,那么y坐标就是在那条在线从X轴上这个点所经的距离,这就是笛卡儿的坐标,英文叫Cartcsian坐标。它的两条线不一定垂直。不知道哪位先生写教科书时把两条线写成垂直了,因此x坐标与y坐标对称了。笛卡儿的两个坐标不是对称的,这是他非常重要的观念,我们现在就叫纤维丛。这些跟y坐标平行的直线都是铁维,是另外的-个空间。原因是这样的:你把它这样改了之后,那条直线就不一定要直线,可以是任何另外一个空间了。这样可以确定空间里点用另外一组坐标来表示。所以有时候科学或数学不一定完全进步了,有时候反而退步了(笑声)。笛卡儿用了这个坐标,就发现,我们不一定要用Cartesian坐标,可以用其它坐标,比如极坐标。平面上确定一个点,称为原点,过这点画一条射线,称为原轴。这样平面上的点,一个坐标是这点与原点的距离,另外一个是角度,是这点与原点的联机与原轴的相交的角度,这就是极坐标。因此极坐标的两个坐标,一个是正数或零,另外一个是从零到360度的角度。当然我们都知道,还可以有许多其它的坐标,只要用数就可以确定坐标。因此,后来大家弄多了的话,就对几何作出了另外一个革命性的贡献,就是说,坐标不一定要有意义。只要每个数能定义一个点,我们就把它叫坐标。从而几何性质就变成坐标的一个代数性质,或者说分析的性质。这样就把几何数量化了,几何就变成形式化的东西了。这个影响非常之大,当然这个影响也不大容易被接受,比如爱因斯坦。爱因斯坦发现他的相对论,特殊相对论是在1908年,而广义相对论是在1915年,前后差了7年。爱因斯坦说,为什么需要7年我才能从特殊相对论过渡到广义相对论呢?他说因为我觉得坐标都应该有几何或物理意义。爱因斯坦是一个对学问非常严谨的人,他觉得没有意义的坐标不大容易被接受,所以耽误了他很多年,他才不能不接受,就是因为空间的概念被推广了。 【未完待续】

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